高等线性代数及其应用——第一部分(偏微分方程、机器学习和数据同化中的数值线性代数)

摘要

本讲义是数值线性代数高级硕士课程的第一部分，旨在展示该学科比上一代更为核心的原因。数值线性代数伴随偏微分方程的数值求解发展，但如今网络节点排序、天气预报中的数据同化以及大型噪声数据的模型拟合，都产生无法直接分解、结构特殊且只能通过矩阵-向量积访问的问题。讲义涵盖范数、分解、条件数和浮点运算；来自有限差分、图和机器学习的稀疏矩阵；平稳迭代与光滑性；共轭梯度与Lanczos方法，包括谱聚类和早停正则化；Arnoldi与GMRES，用于PageRank和大型最小二乘；最后是预条件、Schwarz区域分解和多重网格。假设读者已修过线性代数基础课程，每节附有要点总结，每章配有练习（含历年考题），并附Python代码复现数值示例。